热文:素数是什么如何判断是不是素数

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素数是所有数字的基础,就如元素周期表中的化学元素一样,化学元素是组成所有化学物质的基础,素数包含了数的所有奥秘,所以数学研究者对素数有着特殊的喜爱。

素数
素数也叫质数,指大于1的自然数中,除了1和它本身外不再有其他因数的自然数,比如2、3、5、7、11、13……。

素数是什么,有哪些和素数有关的数学猜想还未得到解决?
最初研究素数的是古希腊数学家欧几里得(约公元前330年—前275年),他在《几何原本》中用反证法,对“素数有无穷多个”给出了一个经典的证明方法。

证明思路:

假设存在最大的素数P,那么将已知所有的素数相乘再加1,得到M:

M=2×3×5×7×11×……×P+1,

显然M不可能被已知的任何一个素数整除,所以M有可能是素数,或者存在比P更大但是比M小的素数因子;无论哪种情况,都说明存在比P更大的素数,与假设矛盾,所以素数是无限的。

素数是构成整数的基础,所有整数都可以用素数来表示,如下:


所以素数包含了所有整数的奥秘,整数分解就是破解整数奥秘的途径之一,因为整数分解后只剩下素数因子。

素数的应用
在现实生活中,数的分解是许多网络加密的基础,我们要把两个已知数相乘很容易,但是要把一个大数分解却很难,利用整数的这一非对称特性,密码学家巧妙地设计了加密和解密的数学原理,比如RSA非对称加密算法,就是基于大数分解。


换句话说,一旦出现一种算法能很快地分解一个大数,那么RSA加密方法将失效,但是目前为止还没有出现这样的高效算法。

素数的未解之谜
数学家围绕素数发现了许多规律,其中很多还是猜想,有些历经几百年也没有人能够证明,这些猜想都是数学上的圣杯,谁要是能证明其一,必定名留青史。

(1)哥德巴赫猜想

猜想内容:任何一个大于2的偶数,都可以写成两个素数之和,简称“1+1=2”。


哥德巴赫于1742年提出,如今已经270多年,最好的成果是我国数学家陈景润证明的“1+2”,也就是:任一充分大的偶数,都可以写成一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和。

(2)孪生素数猜想

相差2的素数对叫做孪生素数,比如5和7,11和13,该猜想说的是孪生素数有无穷多对。


目前最好的成果,是美籍华人数学家张益唐,在2013年提出一种方法,证明存在无穷多个差小于某个数M的素数对,当时张益唐证明了M=7000万的情况,一旦完成M=2就解决了孪生素数猜想,目前M已经被缩小到了200多。

(3)ABC猜想

该猜想描述了三个互素整数a、b、c(满足a+b=c)的素因子之间的关系,是数论中一个非常美妙的猜想,也是一个非常强的数学猜想,一旦ABC猜想被证明,那么证明费马大定理只需要短短五句话。


ABC猜想最新的消息,是2012年日本数学家望月新一宣称完成了证明,他的证明过程足足有500多页,其中有很多他自定义的符号和算法,以至于到现在还没有人能对他的证明给出合理评判。

(4)黎曼猜想

素数拥有无穷多个,但是素数的分布极为不规律,由于素数在整数中的特殊性,数学家对素数始终有着特殊的爱好,也有很多优秀的数学家竭尽一生去研究素数分布规律。

对素数分布规律的第一个突破性进展,是大数学家高斯在1792年(15岁)发现了素数定理,素数定理说的是素数分布与积分函数渐近,但是高斯也无法证明素数定理,使得素数定理成为19世纪最著名的数学难题,直到1896年,素数定理才被其他人证明。


素数定理是素数分布的渐近公式,但是随着数字的增大,素数定理和素数分布的绝对误差将会趋向于无穷,所以素数定理的实用性并不大。

直到1859年,高斯的学生黎曼在一篇论文中,扩展了100多年前欧拉发现的一个公式,然后推导出一个素数分布的准确公式π(x),该公式是否成立,取决于一个猜想是否正确——黎曼猜想。


从黎曼猜想中我们可以看出,素数的分布取决于黎曼函数的非平凡零点分布,由于黎曼函数的所有非平凡零点,对每个素数都有贡献,使得黎曼猜想的证明变得相当艰难。


在2018年9月,89岁高龄的英国数学家迈克尔·阿蒂亚宣称证明了黎曼猜想,引起全世界的关注,可惜他的证明并不成立,他本人也于2019年1月11日去世。

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